Pietarin paradoksi

Pietarin paradoksi on esimerkki, jolla perustellaan utiliteettiteorian tarvetta. Siinä esitellään uhkapeli, joka on mielivaltaisen edullinen pelaajalle, ja sitten perustellaan, ettei keskivertohenkilö kuitenkaan panostaisi siihen mielivaltaisen suurta summaa. Sen keksi Nicolaus I Bernoulli.

Tutkitaan uhkapeliä, jossa pelaajan voittama summa arvotaan heittämällä kolikkoa. Voittosumma määräytyy sen mukaan, monennellako heitolla tulee ensimmäinen klaava siten, että jos se tulee $n.$ heitolla, niin pelaaja voittaa $2^{n}$ euroa. Olennainen kysymys paradoksissa on, että kuinka paljon pelaajan kannattaa maksaa voidakseen osallistua tähän peliin, tai mistä hinnasta ilmaiseksi saatu osallistumisoikeus kannattaa myydä toiselle. Voittosumman odotusarvo on

$\sum _{i=1}^{\infty }2^{i}{\frac {1}{2^{i}}}=\sum _{i=1}^{\infty }1=1+1+1+\ldots =\infty$,

minkä tulkinta on, että mistä hinnasta hyvänsä peli suosii pelaajaa tai pelaaja pitkällä tähtäyksellä pääsee voitolle. Mutta kuka olisi käytännössä halukas maksamaan pelistä vaikka miljoona euroa, tai panttaamaan kaiken omaisuutensa osallistumisoikeudesta? Moni saattaisi todellisuudessa myydä tällaisen pelin ilmaiseksi saadun ainutkertaisen osallistumisoikeuden toiselle vaikkapa tuhannesta eurosta, sillä todennäköisyys voittaa vähintään sama summa on alle kaksi tuhannesosaa.

Aiheesta muualla

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: The St. Petersburg Paradox (englanniksi)