Pariteetti (fysiikka)

Fysiikassa pariteettimuunnoksella eli pariteetti-inversiolla tarkoitetaan yhden paikkakoordinaatin etumerkin vaihtamista, mikä vastaa systeemin muuntamista peilikuvakseen. Kolmiulotteisessa avaruudessa pariteettimuunnosta vastaa myös kaikkien paikkakoordinaattien etumerkin vaihtaminen:

$P:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}}$

Pariteettimuunnos P voidaan esittää 3 × 3 -matriisilla, jonka determinantti on arvoltaan -1. Näin ollen pariteettimuunnos ei vastaa systeemin kiertoa minkään akselin ympäri.

Peilausta tason suhteen vastaa operaatio

$V_{x}:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}},$

joilla myös on negatiivinen determinantti. Ylempänä määritelty pariteettimuunnos saadaan myös yhdistämällä tämä ja 180 asteen kierto y-akselin ympäri.

Kaksiulotteisessa tasossa pariteettimuunnos ei vastaa molempien koordinaattien etumerkkien vaihtoa, joka merkitsee samaa kuin systeemin kierto 180 astetta origon ympäri tai myös peilausta pisteen suhteen. Tätä vastaavan matriisin determinantin arvo on 1. Pariteettimuunnos tapahtuu vain, jos determinantin arvo on -1, eikä näin kaksiulotteisessa tasossa tapahdu 180 asteen kierrossa. Sen sijaan jos vain joko x- tai y-koordinaatin etumerkki vaihdetaan, muunnos vastaa peilausta suoran suhteen, joka merkitsee kuvion muuntamista peilikuvakseen ja näin ollen pariteettimuunnosta.

Polaariset ja aksiaaliset vektorit

Fysiikan vektorisuureet jaetaan polaarisiin ja aksiaalisiin vektoreihin. Suppeammassa mielessä vain edellisiä sanotaan vektoreiksi, aksiaalisista vektoreista käytetään nimitystä pseudovektori. Nämä käyttäytyvät pariteettimuunnoksissa eri tavalla. Jos esimerkiksi x -koordinaatin etumerkki vaihdetaan, polaarisella vektorilla vain x-koordinaatin etumerkki vaihtuu. Sitä vastoin aksiaalisella vektorilla tällöin vaihtuvat y- ja z-koordinaattien etumerkit, kun taas x-koordinaatin etumerkki pysyy ennallaan.

Kahden polaarisen vektorin ristitulo on aksiaalinen vektori, samoin kahden aksiaalisen vektorin ristitulo. Sitä vastoin polaarisen ja aksiaalisen vektorin ristitulo on polaarinen.

Polaarisia vektorisuureita ovat esimerkiksi pisteen paikkavektori, nopeus, kiihtyvyys, voima ja myös sähkökentän voimakkuus. Aksiaalisia vektoreita ovat mekaniikassa ristitulon avulla määritellyt suureet kuten kulmanopeus. Mekaniikan aksiaaliset vektorisuureet liittyvät yleensä pyörivään tai kiertävään liikkeeseen, ja ne on määritelty liikkeen akselin suuntaisiksi, mihin termikin viittaa. Hieman yllättävämmin myös magneettivuon tiheys ja magneettikentän voimakkuus ovat aksiaalisia vektorisuureita. Tämä johtuu siitä, että sähkövirtaa ympäröivän magneettikentän suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti. Täten magneettikentänkin on ajateltava liittyvän kiertävään liikkeeseen. Tämän vuoksi on myös ajateltava, että peilikuvassa jokaisen magneetin pohjoisnapa muuttuu etelänavaksi ja päinvastoin.

Polaarisilla vektoreilla pariteettimuunnosmatriisin determinantti P = -1, aksiaalisilla P = 1. Vastaavalla tavalla skalaarisuureetkin voidaan jakaa varsinaisiin skalaareihin (P=1) ja pseudoskalaareihin, joilla P=-1. Sanotaan myös, että polaaristen vektoreiden ja pseudoskalaarien pariteetti on pariton, aksiaalisten vektoreiden ja varsinaisten skalaarien parillinen.

Pariteetti klassisessa fysiikassa

Newtonin liikeyhtälö (mekaniikan toinen peruslaki) F = m a, jossa massa oletetaan vakioksi, on kahden polaarisen vektorin välinen yhtälö ja näin ollen invariantti pariteettimuunnoksessa. Myös gravitaatiolaki on samasta syystä invariantti pariteettimuunnoksessa. Sitä vastoin pyörimismäärä L on aksiaalinen vektori

L = r × p,

P(L) = (–r) × (–p) = L.

Klassisessa sähköopissa varaustiheys ρ on skalaari, sähkökenttä E, ja virrantiheys j polaarisia vektoreita, mutta magneettikenttä H on aksiaalinen vektori. Maxwellin yhtälöt ovat kuitenkin invariantteja pariteettimuunnoksessa, koska aksiaalisen vektorin roottori on polaarinen vektori.

Yleensäkin kaikki klassisen fysiikan lait ovat invariantteja pariteetin suhteen. Tämä voidaan ilmaista myös niin, että fysiikan lait eivät tee eroa oikean ja vasemman välillä. Jokaisen mahdollinen fysikaalinen ilmiö on mahdollinen myös peilikuvanaan.

Eräiden suureiden käyttäytyminen pariteettimuunnoksessa

Parillinen pariteetti

Suureita, jotka eivät muutu, kun kaikkien paikkakoordinaattien etumerkit vaihdetaan:

Skalaareja

• $\ t$, aika, jolloin jotakin tapahtuu
• $\ m$, kappaleen massa
• $\ E$, kappaleen energia
• $\ P$, teho, aikayksikköä kohti tehty työ
• $\ Q$, sähkövaraus
• $\ \rho$, varaustiheys
• $\ \rho$, sähkömagneettisen kentän energiatiheys
• $\ V$, jännite
• Kaikki fysikaaliset luonnonvakiot, paitsi heikkoon vuorovaikutukseen liittyvät

Aksiaalisia vektoreita

• $\mathbf {L}$, hiukkasen liikemäärämomentti, sekä rataliikkeestä että spinistä aiheutuva
• $\mathbf {B}$, magneettivuon tiheys
• $\mathbf {H}$, magneettikentän voimakkuus
• $\mathbf {M}$, magnetoituma

Tensori

• $\ T_{ij}$ Maxwellin jännitystensori

Pariton pariteetti

Suureita, joiden etumerkki vaihtuu, kun kaikkien paikkakoordinaattien etumerkit käännetään:

Pseudoskalaareja

• $\ p$, magneettisen navan voimakkuus
• $\ \phi$ magneettivuo

Polaarisia vektoreita

• $\mathbf {x}$, pisteen paikkavektori
• $\mathbf {v}$, kappaleen nopeus
• $\mathbf {a}$, kiihtyvyys
• $\mathbf {p}$, liikemäärä
• $\mathbf {F}$, kappaleeseen kohdistuva voima
• $\mathbf {J}$, sähkövirran tiheys
• $\mathbf {E}$, sähkökentän voimakkuus
• $\mathbf {D}$, sähkövuon tiheys
• $\mathbf {P}$, sähköinen dipolimomentti
• $\mathbf {A}$, sähköinen vektoripotentiaali
• $\mathbf {S}$, Poyntingin vektori

Pariteetti kvanttimekaniikassa

Kvanttimekaniikassa jokaiseen hiukkaseen liittyy hiukkasen tilaa kuvaava aaltofunktio Ψ. Pariteettimuunnoksessa se käyttäytyy useimmilla hiukkasilla normaalin skalaarin, mutta esimerkiksi mesoneilla pseudoskalaarin tavoin. Tämän vuoksi sanotaan, että mesoneilla on pariton (tai negatiivinen), useimmilla muilla hiukkasilla parillinen (tai positiivinen) pariteetti.

1950-luvulle saakka oletettiin, että systeemin kokonaispariteetti säilyy kaikissa luonnonilmiöissä. Tämä oli yhtäpitävää sen kanssa, että kvanttimekaniikankin mukaan jokainen mahdollinen fysikaalinen ilmiö oli mahdollinen myös peilikuvanaan. 1950-luvulla kuitenkin ilmeni, että heikko vuorovaikutus saa aikaan ilmiöitä, joissa se ei säily. Tällaiset ilmiöt eivät voi tapahtua peilikuvanaan.

Mahdolliset ominaisarvot

Pariteetin kaksiulotteisen esityksen määrittää kaksi sisäkkäistä kvanttitilaa. Tämä esitys voidaan kuitenkin aina palauttaa tilojen lineaarikombinaatioksi, joista jokaisella on joko parillinen tai pariton pariteetti. Sanotaan, että pariteetin kaikki redusoitumattomat esitykset ovat yksiulotteisia.

Kvanttimekaniikassa kaikki avaruus-ajan muunnokset ovat kvanttitiloihin kohdistuvia operaattoreita. Pariteettimuunnos, P, on unitaarinen operaattori, joka kohdistuu tilaan Ψ seuraavasti: P Ψ(r) = Ψ(-r). Tässä P² Ψ(r) = e^i f Ψ(r), sillä aaltofunktion vaihetta ei voida suoraan havaita.

Operaattori P², joka kääntää tilan pariteetin kahteen kertaan, palauttaa avaruus-ajan ennalleen, joten se on sisäinen symmetriaoperaatio, joka muuttaa systeemin ominaistiloja vaihekulman e^i f verran. Jos P² on vaihesiirtojen jatkuvan symmetriaryhmän U(1) alkio e^i Q, niin e^-i Q/2 kuuluu myös tähän ryhmään U(1) ja on siis myös symmetriaoperaatio. Erityisesti voidaan määritellä P'=Pe^-i Q/2, joka myös on symmetriaoperaatio, ja näin ollen P' voidaan myös määritellä pariteettioperaattoriksi P:n sijasta. On huomattava, että P'²=1, ja näin ollen P':llä on ominaisarvot +1 ja -1. Jos kuitenkaan sellaista symmetriaryhmää ei ole, saattaa kaikilla pariteettimuunnoksilla olla muitakin ominaisarvoja kuin +1 ja -1.

Pariteettimuunnoksen seurauksia

Kun pariteeteista voidaan muodostaa Abelin ryhmä Z₂, kvanttitiloista voidaan aina muodostaa lineaarikombinaatioita, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia (ks. kuvaa). Sellaisten tilojen pariteetti on ±1. Monen hiukkasen systeemin pariteetti on jokaisen hiukkasen tilan pariteettien tulo. Näin ollen pariteetti on multiplikatiivinen kvanttiluku.

Kvanttimekaniikassa Hamiltonin operaattorit ovat invariantteja pariteettimuunnoksessa, jos P kommutoi Hamiltonin operaattorin kanssa. Epärelativistisessa kvanttimekaniikassa näin on kaikkien pallosymmetristen skalaaristen potentiaalien V = V(r), laita. Voidaan helposti osoittaa seuraavat tosiasiat:

• Jos operaattoreilla |A> ja |B> on sama pariteetti, niin <A| X |B> = 0 missä X on paikkaoperaattori.
• Tilalle |L,m>, jonka rataliikemäärämomentin L z-akselin suuntainen projektio on m, P |L,m> = (-1)^L|L, m>.
• Jos [H,P] = 0, systeemi ei voi siirtyä tilaan, jolla on vastakkainen pariteetti kuin alkuperäisellä.
• Jos [H,P]' = 0, niin H:n degeneroitumaton ominaistila on myös pariteettioperaattorin ominaistila, toisin sanoen H:n

degeneroitumaton ominaistila on joko invariantti muunnoksessa P tai vain sen merkki vaihtuu.

Jotkin H:n degeneroitumattomat ominaistilat ovat siis invariantteja pariteettimuunnoksessa P, toisissa taas vain etumerkki vaihtuu, kun Hamiltonin operaattori ja pariteettioperaattori kommutoivat.

P Ψ = c Ψ,

missä c on vakio, P:n ominaisarvo,

P P Ψ = P c Ψ.

Pariteetti kvanttikenttäteoriassa

Pionin pariteetti

Vuonna 1954 William Chinowsky ja Jack Steinberger osoittivat, että pionilla p on negatiivinen pariteetti. He tutkivat sellaisen atomia vastaavan systeemin hajoamista, jonka muodostavat deuteriumatomin ydin d ja negatiivisesti varautunut pioni p^-. Kun systeemi oli tilassa, jossa sen liikemäärämomentti L oli nolla, se hajosi kahdeksi neutroniksi n:

$d\ \pi ^{-}\longrightarrow n\ n.$

Neutronit ovat fermioneja, jotka noudattavat Fermin statistiikkaa. Näin ollen lopputila oli antisymmetrinen. Kun kuitenkin deuteriumytimen spin on +1 ja pionin 0, he päättelivät, että syntyneillä kahdella neutronilla piti olla rataliikemäärämomentti L=1. Systeemin kokonaispariteetti on hiukkasten sisäisten pariteettien ja niiden välisen pariteetin tulo (-1)^L. Koska rataliikemäärämomentti tässä prosessissa muuttuu nollasta yhdeksi, sisäisillä pariteeteilla pitää olla eri etumerkki alku- ja lopputilassa, jotta kokonaispariteetti säilyisi prosessissa. Deuteriumydin muodostuu protonista ja neutronista, ja koska sekä protonin että neutronin sisäinen pariteetti on +1, he päättelivät, että pionin pariteetti on neutronien pariteettien tulon vastaluku jaettuna protonin ja neutronin pariteeteilla deuteriumissa, siis (-1)(1)²/(1)² = -1. Tästä he päättelivät, että pioni on luonteeltaan pseudoskalaarinen hiukkanen.

Pariteetin rikkoutuminen

Ennen vuotta 1956 pariteetin säilymislakia pidettiin yleispätevänä. Pariteetti säilyy sähkömagneettisessa ja vahvassa vuorovaikutuksessa ja gravitaatiossa. On kuitenkin osoittautunut, että heikossa vuorovaikutuksessa se ei säily. Hiukkasfysiikan standardimalliin liittyy pariteetin rikkoutuminen. Sen mukaan heikkoon vuorovaikutukseen osallistuu vain tavallisten hiukkasten oikeakätinen komponentti ja antihiukkasten vasenkätinen komponentti. Tämä osoittaa, että pariteetti ei ole maailmankaikkeuden universaalinen symmetriaominaisuus. Jotkut fyysikot ovat kuitenkin olettaneet, että joissakin maailmankaikkeuden osissa olisi olemassa myös niin sanottua peiliainetta, jossa pariteetti rikkoutuu päinvastaisella tavalla. Sellaisen olemassaolosta ei kuitenkaan ole todisteita.

Pariteetin rikkoutumisen löytöhistoria on mielenkiintoinen. Useita kertoja eri yhteyksissä oli oletettu, että pariteetti ei säilyisi, mutta kun sellaisesta ei ollut luotettavia havaintoja, epäilyksiä ei yleensä otettu vakavasti. Fyysikot Tsung-Dao Lee ja Chen Ning Yang kuitenkin huomauttivat, että vaikka pariteetin oli varmuudella todettu säilyvän vahvassa ja sähkömagneettisessa vuorovaikutuksessa, sen säilymistä myös heikossa vuorovaikutuksessa ei ollut kokeellisesti todennettu. Heidän artikkeliinsa ei aluksi juuri kiinnitetty huomiota, mutta Leen aloitteesta hänen työtoverinsa Columbian yliopistossa, Chien-Shiung Wu, päätti suorittaa kokeilta. Kokeisiinsa hän tarvitsi voimakkaita jäähdytyslaitteita ja kokemusta, ja niinpä koe oli suoritettava standardointitoimistossa (National Bureau of Standards).

Vuosina 1956–1957 Wu, E. Ambler, R. W. Hayward, D. D. Hoppes ja R. P. Hudson havaitsivat, että pariteetin säilyminen selvästi rikkoutui koboltti-60:n radioaktiivisessa beetahajoamisessa. Tämä ilmeni siten, että kun alhaisessa lämpötilassa ja voimakkaassa magneettikentässä lähes kaikkien ydinten magneettiset momentit saatiin samansuuntaisiksi, beetasäteilyä ei lähtenyt yhtä paljon kaikkiin suuntiin. Kun koe oli suoritettu toistamiseen, Wu ilmoitti kollegoilleen tuloksistaan. Kolme heistä, Richard Garwin, Leon Lederman ja R. Weinrich suorittivat muunnetussa muodossa erään syklotronilla suoritetun kokeen ja heti varmistivat pariteetin rikkoutumisen. He eivät kuitenkaan julkaisseet tuloksiaan ennen kuin Wun ryhmä oli saanut raporttinsa valmiiksi; molemmat julkaistiin erään tieteellisen aikakauskirjan samassa numerossa.

Tämän jälkeen huomautettiin, että eräässä vähemmän tunnetussa kokeessa vuonna 1928 oli jo ilmoitettu pariteetin rikkoutuvan heikoissa hajoamisessa, mutta asia ei tuolloin ollut vielä saanut osakseen asianmukaista huomiota. Kun pariteetin rikkoutuminen lopulta tuli tunnetuksi, se selitti myös kaonien havaitun omalaatuisen käyttäytymisen.

Hadronien sisäinen pariteetti

Jokaiselle hiukkaselle voidaan määritellä sisäinen pariteetti niin kauan, kun pariteetti säilyy. Vaikka heikossa vuorovaikutuksessa näin ei tapahdu, pariteetti voidaan yhä määritellä hadroneille tutkimalla niitä vahvaan vuorovaikutukseen perustuvia ilmiöitä, joissa sellainen muodostuu tai hajoaa.

Katso myös

• CPT-symmetria
• Pariteetti (matematiikka)
• Pariteetti (tietotekniikka)

Lähteet

• Bigi, I.I.; Sanda, A.I.: CP violation, ISBN 0-521-44349-0
• Seinbert, S.: The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press 1955, ISBN 0-521-67053-5