Neliliikemäärä

Neliliikemäärä on erityisen suhteellisuus­teorian mukainen klassisen kolmi­ulotteisen liikemäärän yleistys neliulotteisessa aika-avaruudessa. Liike­määrä on kolmi­ulotteinen vektorisuure, ja samaan tapaan nelivektori on aika-avaruuden nelivektori. Jos kolmi­ulotteinen liike­määrä on p = (p_x, p_y, p_z) ja energia E, sen kontra­variantti neliliikemäärä on:

$\mathbf {P} ={\begin{pmatrix}P^{0}\\P^{1}\\P^{2}\\P^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}$

Neli­liike­määrä on ­käyttö­kelpoinen suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa, koska se on Lorentz-vektori. Se merkitsee, että on helppo jäljittää, miten se muuntuu Lorentz-muunnoksessa.

Edellä esitetty määritelmä pätee, kun koordinaatit määritellään siten, että x⁰ = ct. Joskus ne määritellään siten, että x⁰ = t, jolloin neli­liik­emäärän määritelmää on muutettava siten, että P⁰ = E/c². On myös mahdollista määritellä kovariantti neli­liike­määrä P_μ, jossa energian etu­merkki on vaihdettu.

Minkowskin normi

Kun lasketaan neliliikemäärän Minkowskin normi, saadaan Lorentz-invariantti suure, joka on suoraan verrannollinen kappaleen massan (lepomassan) neliöön:

$-\|\mathbf {P} \|^{2}=-P^{\mu }P_{\mu }=-\eta _{\mu \nu }P^{\mu }P^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|\mathbf {p} |^{2}=m^{2}c^{2}$

kun noudatetaan käytäntöä, jonka mukaan

$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

on erityisen suhteellisuus­teorian mukainen metrinen tensori. Suure ||P||² on Lorentz-invariantti, mikä merkitsee, että sen arvo ei muutu Lorentz-muunnoksissa eli siirryttäessä toiseen koordinaatistoon.

Neliliikemäärä ja nelinopeus

Massallisen kappaleen neli­liike­määrä on sen invariantti massa m kerrottuna sen neli­nopeudella:

$P^{\mu }=m\,U^{\mu }\!$

missä nelinopeus on

${\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}$

Tässä

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

on Lorentz-tekijä ja c valonnopeus.

Neliliikemäärän säilyminen

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa on voimassa neli­liike­määrän säilymislaki. Se yhdistää kaksi klassisen fysiikan mukaista säilymis­lakia:

1. Kokonaisenergia E = P⁰c säilyy.
2. Klassinen kolmiulotteinen liikemäärä p säilyy.

Lähteet

• Herbert Goldstein: Classical mechanics. Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co., 1980. ISBN 0201029189.
• L. D. Landau: The classical theory of fields. Oxford: Butterworth Heinemann, E. M. Lifshitz. ISBN 9780750627689.
• Wolfgang Rindler,: Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853952-5.

Katso myös

• Energian ja liikemäärän yhteys