Kulman kolmiajako

Kulman kolmiajako on jo antiikin kreikkalaisten matemaatikkojen pohtima geometrinen konstruktiotehtävä, jossa mieli­valtainen kulma on jaettava kolmeen yhtä suureen osaan. Ranska­lainen mate­maatikko François Viète todisti 1500-luvun lopulla, että tehtävä ei voida ratkaista pelkästään harpin ja merkitsemättömän viivoittimen avulla.

Kulman voi jakaa kolmeen yhtä suureen osaan neusis-konstruktion avulla, mutta ei pelkästään harpilla ja viivoittimella.

Uudemman todistuksen asian mahdotto­muudelle esitti Pierre Wantzel vuonna 1937. Wantzelin todistus perustuu Galois’n teoriaan. Kulman kolmia­jako vastaa tietynlaisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisemista, mikä ei ole mahdollista käyttämällä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun lisäksi pelkästään neliö­juuren ottoa.

Vaikka ei olekaan keinoa, jolla mikä tahansa kulma voitaisiin jakaa harpilla ja viivoittimella kolmeen yhtä suureen osaan, jotkut tietyt kulmat kyllä voidaan. Esimerkiksi suora eli 90 asteen kulma voidaan siten jakaa, sillä 30 asteen kulma voidaan kyllä piirtää harpilla ja viivoittimella.

Jos sallitaan harpin ja viivoittimen lisäksi muidenkin välineiden käyttö, kulman kolmiajako on kyllä mahdollista. Esimerkiksi neusis-konstruktiot tunnettiin nekin jo antiikin Kreikassa. Ne suoritetaan liu’uttamalla ja kiertämällä samanaikaisesti mitta-asteikolla varustettua viivoitinta. Aikojen kuluessa matemaatikot ovat keksineet muitakin menetelmiä.

Koska tehtävä on helposti esitetty mutta vaikeasti todistettavissa mahdottomaksi, monet pseudomatemaatikot ovat väittäneet ratkaisseensa sen. Näissä ”ratkaisuissa” on usein turvauduttu keinoihin, joita klassisissa geometrisissa konstruktiotehtävissä ei sallita, tai ne ovat täysin väärin.

Tausta ja tehtävän asettelu

Mikä tahansa kulma voidaan jakaa kahtia harpilla ja viivoittimella.

Kreikkalaiset matemaatikot keksivät jo varhain keinot, joilla pelkästään merkitsemättömän viivoittimen ja harpin avulla voitiin jakaa jana mielivaltaiseen määrään yhtä pitkiä osia, piirtää yhdensuuntaisia suoria, jakaa mielivaltainen kulma kahtia, piirtää monia säännöllisiä monikulmioita tai piirtää neliö, jonka pinta-ala on yhtä suuri tai kaksi kertaa niin suuri kuin annetun monikulmion.

Kolme paljon pohdittua tehtävää jäi kuitenkin ratkaisematta: kulman kolmiajako, kuution kahdentaminen ja ympyrän neliöiminen. Paljon myöhemmin on todistettu, että näitä ei voikaan ratkaista pelkästään harpin ja viivoittimen avulla.

Mahdottomuuden todistus

Merkittyjä, mitta-asteikolla varustettuja viivoittimia. Geometrisissa konstuktioissa oletetaan kuitenkin, että viivoitin on merkitsemätön eli siinä ei ole mitta-asteikkoa.

Harppi

Kulman kolmiajaon geometrinen probleema liittyy läheisesti algebraan, erityisesti kolmannen asteen yhtälöön, sillä trigonometrian avulla kolminkertaisen kulman kosinille johtaa lauseke:

$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}(\theta )-3\cos(\theta )$.

Voidaan osoittaa, että jokainen kompleksiluku, jonka vastinpiste kompleksitasolla voidaan löytää pelkästään harpin ja viivoittimen avulla, kun pisteet 0 ja 1 on annettu, voidaan esittää jonkin toisen asteen yhtälön ratkaisuna, jonka kertoimet ovat rationaalilukuja. Tällaiset kompleksi­luvut muodostavat kunnan, joka on kompleksilukujen kunnan alikunta. On myös huomattava, että $\pi /3$ radiaanin eli 60 asteen kulma voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella, sillä tasa­sivuisen kolmion kulmat ovat sellaisia. Jos voidaan osoittaa, että 20°:n kulmaa ei voi samoilla välineillä piirtää, ei ole keinoa, jolla mieli­valtainen kulma voitaisiin jakaa kolmeen yhtä suureen osaan.

Jos 60°:n kulma voidaan jakaa kolmia, täytyy sen kolmas­osan kosinin, cos 20°, olla jonkin sellaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu, jonka kertoimet ovat rationaali­lukuja.

On huomattava, että $\cos 60^{\circ }=\cos(\pi /3)=1/2$. Tällöin on edellä olevan yhtälön mukaan

$\cos(\pi /3)=1/2=4y^{3}-3y$

ja siis

$4y^{3}-3y-1/2=0$

Tästä saadaan

$8y^{3}-6y-1=0$

tai yhtäpitävästi

$(2y)^{3}-3(2y)-1=0$.

Sijoitetaan tähän $x=2y$, jolloin $x^{3}-3x-1=0$. Käytetään polynomille $x^{3}-3x-1$ merkintää p(x).

Tällöin xn eli cos 20°:n minimipolynomi on jokin p(x):n tekijä. Koska p(x) on kolmannen asteen polynomi, se voidaan jakaa alemman asteen tekijöihin vain, jos sillä on rationaalinen nollakohta. Rationaalijuurilauseesta seuraa lisäksi, että tämän nollakohdan olisi oltava joko 1 tai −1, mutta kumpikaan selvästi ei ole sen nolla­kohta. Sen vuoksi p(x) on redusoitumaton polynomi rationaali­lukujen kunnan $\mathbb {Q}$ suhteen, ja cos 20°:n minimi­polynomi on kolmannen asteen polynomi. Tämän vuoksi 20 asteen kulmaa ei voida piirtää harpilla ja viivoittimella, eikä 60 asteen kulmaa siis voida jakaa kolmia.

Monet henkilöt, jotka eivät tunne yllä olevaa tulosta, ovat ymmärtäneet sen väärin tai virheellisesti hylänneet sen, ovat esittäneet menetelmiä mieli­valtaisen kulman jakamiseksi kolmeen yhtä­suureen osaan. Osa näistä menetelmistä on vain liki­määräisiä, toiset taas käyttävät hyväkseen menetelmiä, joita klassisissa konstruktio­tehtävissä ei sallita ja joita käsitellään tarkemmin jäljempänä. Matemaatikko Underwood Dudley on käsitellyt tällaisia yrityksiä kirjassaan The Trisectors.

Kulmat, jotka voidaan jakaa kolmia

Jotkin tietyt kulmat kuitenkin voidaan jakaa harpilla ja viivoittimella kolmeen yhtä suureen osaan. Esimerkiksi aina, jos jokin kulma $\theta$ on täten piirrettävissä, kulma $3\theta$ voidaan tietenkin jakaa kolmia piirtämällä kulma $\theta$. On kuitenkin myös kulmia, joita itsessään ei täten voi konstruoida, mutta jos ne on annettu, ne voidaan jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Sellainen kulma on esimerkiksi $3\pi /7$: viisi sellaista kulmaa yhdessä muodostaa kulman $15\pi /7$, joka käsittää täyden kierroksen sekä siihen lisätyn, vaaditun kulman $\pi /7$. Yleisesti jos N on mieli­valtainen positiivinen kokonaisluku, kulma $2\pi /N$ voidaan jakaa kolmia, jos ja vain jos N ei ole jaollinen kolmella.

Yleinen teoreema

Käytetään rationaalilukujen joukolle merkintää $\mathbb {Q}$. Voidaan todistaa seuraava teoreema:

Kulma $\theta$ voidaan jakaa kolmia, jos ja vain jos

$q(t)=4t^{3}-3t-\cos(\theta )$

on redusoituva kuntalaajennuksessa $\mathbb {Q} (\cos(\theta ))$.

Tämän lause voidaan todistaa jokseenkin samoin kuin edellä todistettiin, ettei 60 asteen kulmaa voida jakaa kolmia.

Kolmiajako muilla menetelmillä

Vaikka mielivaltaista kulmaa ei voida jakaa kolmia pelkästään klassisilla kreikkalaisilla harppi- ja viivoitin­konstruktioilla, muilla keinoilla tehtävä on kyllä ratkaistavissa.

Kahtiajaon loputon toisto

Kulman kolmiajako saadaan raja-arvona toistamalla tietyt harppi- ja viivoitin­konstruktiot lukemattomia kertoja ja käyttämällä hyväksi luvun 1/3 esitystä binäärilukuna, joka on 0,01010101... Jaetaan kulma ensin kahtia, minkä jälkeen jompikumpi saaduista kulmista jaetaan edelleen kahtia sen mukaan, milloin tässä binäärikehitelmässä on 0, milloin 1. Mitä useampia kertoja tämä toistetaan, sitä lähemmäs päästään sellaista kulmaa, joka on alkuperäisen kulman kolmasosa. Tämä algoritmi muistuttaa tietojenkäsittelyssä käytettävää binäärihakua, ja vastaavalla tavalla kulma voidaan jakaa kuinka moneen yhtä­suureen osaan tahansa.

Origamit

Kulman kolmiajako, kuten monet muutkin harpilla ja viivoittimella ratkaisemattomat tehtävät, voidaan helposti suorittaa käyttämällä vahvempia, mutta fyysisesti helppoja paperin taivutus­menetelmiä eli origameja. Näihin perustuvien Huzitan aksioomien avulla voidaan annettu jana lähtökohtana konstruoida sellainen jana, jonka pituus on alkuperäisen janan pituus kerrottuna jonkin kokonaisluvun kuutio­juurella, kun taas harppi- ja viivoitin­konstruktoilla voidaan saada enintään neliöjuuria.

Muiden käyrien avulla

On olemassa nimellä trisectrix tunnettuja käyriä, joita ei voida piirtää harpilla ja viivoittimella, mutta jos ne voidaan muilla keinoilla piirtää, niiden avulla voidaan mikä tahansa kulma jakaa kolmeen yhtä suureen osaan..

Merkityllä viivoittimella

Klassisissa kreikkalaissa konstruktiotehtävissä oletetaan, että viivoittimeen ei ole tehty merkintöjä. Jos säännöistä kuitenkin poiketaan sen verran, että siihen on merkitty kaksi pistettä, joiden välistä etäisyyttä käytetään pituus­yksikkönä, sanotaan tällaisen viivoittimen avulla tehtyjä konstruktioita neusis-konstruktioiksi. Arkhimedes keksi menetelmän, jolla tällaisen viivoittimen avulla voidaan jakaa mielivaltainen kulma kolmeen yhtäsuureen osaan.

Tässä käytetään hyväksi seuraavia geometrian lauseita:

1. Suoran samalle puolelle piirrettyjen kulmien, joiden yhteinen kärkipiste on tällä suoralla ja jotka täyttävät koko puolitason, summa on 180°
2. Kolmion kulmien summa on 180°,
3. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret

Kulman kolmiajako merkityn viivoittimen avulla

Oikealla olevassa kaaviossa jaetaan kolmeen osaan kulma a, jonka kärkipiste on B. Ensin merkitään piste A kulman toiselle kyljelle yhden pituus­yksikön eli viivoittimessa olevien merkkien välisen etäisyyden päähän pisteestä B, ja piirretään ympyrä, jonka säde on AB.

Tämän jälkeen käytetään hyväksi sitä, että viivoittimessa on kaksi pistettä merkitty. Pidetään se paikoillaan siten, että sen reuna kulkee pisteen A kautta, liu'utetaan ja kieretään sitä, kunnes toinen sen merkityistä pisteistä on ympyrän kehällä pisteessä C ja toinen kulman toisen kyljen jatkeella pisteessä D, tosin sanoen CD = AB. Piirretään ympyrään säde BC. Tällöin janat AB, BC ja CD ovat yhtä suuret; janan AC pituudella ei ole merkitystä. Nyt kolmiot 'ABC ja BCD ovat tasakylkisiä, jolloin niillä on myös yhtä suuret kantakulmat.

Tällöin kulma $b=(1/3)a$.

Todistus:

1. Lauseesta 1 seuraa, että $e+c=180$°
2. Lauseesta 2 seuraa, että kolmiossa BCD on $e+2b=180$°
3. Näistä kahdesta yhtälöstä seuraa, että $c=2b$
4. Lauseesta 2 seuraa edelleen, että $d+2c=180$°, joten $d=180$°$-2c$ ja edelleen $d=180$°$-4b$
5. Lauseesta 1 seuraa nyt, että $a+d+b=180$°, joten $a+(180$°$-4b)+b=180$°.

Näistä saadaan sieventämällä edelleen $a-3b=0$ eli $a=3b$, mikä oli todistettava.

Tämä konstruktio ei kuitenkaan ole klassisten sääntöjen mukainen, koska tämä edellyttää viivoittimeen tehtyjä merkintöjä.

Aiheesta muualla

• MathWorld
• Antiikin aikaisia geometrisia probleemoja, myös kulman kolmiajako
• Kysymyksen historiaa
• Ratkaisu merkityn viivoittimen avulla (Arkistoitu – Internet Archive)
• Toinen, jossa Arkhimedes mainitaan
• Pitkä artikkeli, jossa on monia approksimaatioita ja muita kreikkalaisista konstruktiosäännöistä poikkeavia menetelmiä (Arkistoitu – Internet Archive)
• Geometriasivusto (Arkistoitu – Internet Archive)

Muista menetelmistä

• Kolmiajako (Arkistoitu – Internet Archive) Blaise Pascalin limaçonin avulla (Archived)
• Kolmiajako Arkhimedeen spiraalin avulla (Arkistoitu – Internet Archive)
• Kolmijako konkoidin avulla
• sciencenews.org origameja käsittelevä sivusto (Arkistoitu – Internet Archive)
• Hyperbolinen kolmiajako ja tietoa säännöllisistä monikulmioista