Integraaliyhtälö

Integraaliyhtälö on yhtälö, jossa esiintyy integraalin sisällä tuntematon funktio. Integraaliyhtälöt ovat läheistä sukua differentiaaliyhtälöille, ja usein tutkittava ongelma voidaan ilmaista molemmilla tavoilla. Tällaisesta vaihtoehtoisesta muotoilusta yleisin esimerkki ovat Maxwellin yhtälöt.

Integraaliyhtälöiden yksinkertaisin perustyyppi on ensimmäisen lajin Fredholmin yhtälö

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\phi (t)dt$

Tässä $\phi (t)$ on tuntematon funktio ja $K(x,t)$ integraalin ydin (vrt. integraalimuunnokset). Fredholmin yhtälön tunnuspiirre on, että molemmat integrointirajat ovat vakioita. Jos tuntematon funktio esiintyy myös integraalin ulkopuolella, kyseessä on toisen lajin Fredholmin yhtälö

$f(x)=\phi (x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\phi (t)dt$.

Tässä esiintyvä kerroin $\lambda$ vastaa yhtälön ominaisarvoa.

Jos jompikumpi integrointiraja on muuttuja, kyseessä on Volterran yhtälö. Myös näitä on tuntemattoman funktion $\phi$ sijainnin perusteella ensimmäistä lajia

$f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\phi (t)dt$

ja toista lajia

$f(x)=\phi (x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\phi (t)dt$.

Analogisesti differentiaaliyhtälöiden kanssa puhutaan homogeenisesta yhtälöstä, jos $f(x)=0$. Muutoin yhtälö on epähomogeeninen.

Jos yhtälössä esiintyy myös tuntemattoman funktion derivaattoja, kyseessä on integrodifferentiaaliyhtälö. Näitä tulee vastaan joissakin fysiikan sovelluksissa, esimerkiksi säteilynkuljetuksen teoriassa.

Aiheesta muualla

• Kokoelma integraaliyhtälöiden ratkaisuja (englanniksi)

Katso myös

• Differentiaaliyhtälö