Hitausmomentti

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä muokkaa

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

J=mr^{2}.

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}.

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

J=\int r^{2}\,dm,

missä $\scriptstyle dm$ on tiheysjakauma tilan yli. Koska $\scriptstyle m=\rho V$ , saadaan

dm=\rho \,dV.

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja muokkaa

Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori muokkaa

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu ${\textstyle n}$ :stä kappaleesta, joiden massat ovat ${\textstyle m_{\alpha }}$ , missä ${\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}$ . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella ${\textstyle {\vec {\omega }}}$ jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ${\textstyle {\vec {v}}}$ ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\vec {v}}_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha }$ , ^[1]

missä ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }}$ kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

$K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha })^{2}$ . ^[1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

$\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}$ ,

on rotaatioenergia on tällöin

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{\alpha }\right)^{2}\right)$ . ^[1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ${\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }}$ ja ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}$ . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right)$ .

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}}$ , joten:

${\begin{aligned}K_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}$

Määritellään ${\textstyle \alpha }$ -summan ${\textstyle ij}$ :s termi suureeksi ${\textstyle J_{ij}}$ , ts.

$J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)$ .

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}$ ,

missä ${\textstyle J}$ on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä ${\textstyle J_{ij}}$ on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa ${\textstyle 3\times 3}$ -matriisin alkioiksi:

$\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}$ ^[1]

Matriisia ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ${\textstyle J_{11}}$ , ${\textstyle J_{22}}$ ja ${\textstyle J_{33}}$ ovat kappaleen hitausmomentit ${\textstyle x_{1}}$ -, ${\textstyle x_{2}}$ - ja ${\textstyle x_{3}}$ -akselien suhteen.^[1] Jos käytetään koordinaattien ${\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}$ sijaan karteesisia koordinaatteja ${\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}$ ja merkitsemällä ${\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}}$ , tensori ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$ voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

$\{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}$

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. ${\textstyle J_{ij}=J_{ji}}$ . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on ${\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}$ , niin

$J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V$ ,

missä ${\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}}$ on paikkavektorin ${\textstyle {\vec {r}}}$ osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja ${\textstyle V}$ on kappaleen tilavuus.^[1]

Katso myös muokkaa

Lähteet muokkaa

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

[:0-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

[1]