Geometrinen todennäköisyys

Geometrinen todennäköisyys on todennäköisyyslaskennassa tapa havainnollistaa jatkuvia alkeistapauksia tai satunnaismuuttujia esittämällä ne yksi- tai useampiulotteisina kuvioina. Kuviot muodostaneet pisteet tulkitaan alkeistapauksiksi, jotka ovat klassisen todennäköisyyslaskennan tapaan symmetrisiä eli keskenään yhtä yleisiä tapauksia. Vertaamalla kuvion osien mittoja voidaan laskea niitä vastaavien tapahtumien todennäköisyyksiä. Geometrista todennäköisyyslaskentaa pidetäänkin klassisen todennäköisyyslaskennan yleistyksenä.

Jos arvotaan suuren ympyrän sisältä mikä tahansa piste, voidaan geometrisellä todennäköisyyslaskennalla määrittää keskustaan osumisen todennäköisyys.

Reunaehdot

Geometrista todennäköisyyslaskentaa voidaan soveltaa tilanteisiin, jossa kaikki perusjoukon $\Omega$ pisteet muodostavat geometrisen kuvion ja tapahtuman $A$ pisteet sen osakuvion. Todennäköisyyden suuruus ei saa riippua osakuvion sijainnista ja muodosta vaan ainoastaan sen mitoista.

Lukuvälien perusjoukkoja voidaan esittää lukusuoralla tai janalla. Myös tasokuviot ja tilavuuskappaleet voivat esittää perusjoukkoja, joista erotetaan osajoukkojen alueita. Perusjoukon koko $m(\Omega )$ saadaan pituuksista, aloista ja tilavuuksista, samoin tapahtumia edustavien osajoukkojen koko $m(A).$. Funktiolla $m(x)$ ilmaistaan geometrisen kuvion koko (pituus, ala tai tilavuus eli mitta).

Määritelmä

Oletetaan aluksi, että satunnaisilmiö voi valita minkä tahansa perusjoukkoa $\Omega$ esittävän kuvion pisteistä yhtä todennäköisesti. Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkona kuvion osakuvio. Geometrisessä todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että osakuvion $A$ piste valitaan todennäköisyydellä

$P(A)={\frac {m(A)}{m(\Omega )}}.$

Esimerkkejä

Buffonin neula

Yllä olevan ympyrän sisältä sattumanvaraisesti valitun pisteen osuminen keskustan alueelle riippuu ainoastaan ympyräalueiden pinta-aloista. Suuremman ympyrän säde on 4 senttimetriä ja pienemmän ympyrän säde 2 senttimetriä. Ympyrän pinta-ala lasketaan $A=\pi r^{2}$, joten suuren ympyrän koko on $A_{iso}=\pi 4^{2}=16\pi$ ja pienen $A_{pieni}=\pi 2^{2}=4\pi$. Silloin kysytty todennäköisyys on

$P({\text{osuu keskelle}})={\frac {A_{pieni}}{A_{iso}}}={\frac {4\pi }{16\pi }}={\frac {1}{4}}=0,25.$

Sykkyrässä olevan metrin pituisen narun katkaiseminen saksilla voidaan muuttaa geometriseksi tehtävksi olettamalla katkaisukohdan valikoituvan sattumanvaraisesti. Naru voidaan aluksi ajatella olevan suoraksi ojennettuna lukusuoralla, jolloin se asettuu lukuvälille $[0,1]$. Kun naru katkaistaan valitusta kohdasta $a$, saadaan kaksi narun pätkää. Lukusuoralla nämä vastaavat välejä $[0,a]$ ja $(a,1]$, joiden pituudet ovat $a$ ja $1-a$. Todennäköisyyslaskut voidaan pelkistää luettelemalla suotuisat luvun $a$ arvot välien yhteispituuksina ja vertaamalla niitä narun kokonaispituuteen (joka on yksi).

Buffonin neula on ongelma, jossa lautalattialle heitetään neula tai tulitikku. Millä todennäköisyydellä neula osuu lattian raon kohdalle? Ongelma voidaan pelkistää kahden parametrin ongelmaksi: tikun keskikohdan ja tikun asentoon lattiarakoihin nähden.