Funktion toispuoleinen raja-arvo

Funktion toispuoleinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, funktion toispuoleisella raja-arvoilla tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen toisella puolella eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.

Johdanto

Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.

Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.

Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa $\mathbf {u}$ tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.

Määritelmä

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon ($\epsilon$) ja delta ($\delta$) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion $f$ realilukuarvoinen määrittelyjoukko on $A$ niin, että $f:A\to \mathbb {R}$ on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli $[a,b]\diagdown \{p\}$ (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla $\epsilon >0$ on aina olemassa luku $\delta >0$ siten, että

$|f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .$

Siis, valittiinpa positiivinen luku $\epsilon$ kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku $\delta$ siten, että kaikilla korkeintaan $\delta$:n etäisyydellä olevilla luvuilla $x$ ovat funktion $f(x)$ arvot korkeintaan $\epsilon$:n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla $\epsilon$:n pienentämisen, tulisi myös $\delta$ pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun $\delta$:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun $\epsilon$.

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo $x-p$. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

$\lim _{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .$

Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.

Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

$\lim _{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .$

Esimerkkejä käytöstä

Raja-arvo välin reunapisteessä

Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.

Raja-arvon olemassaolo

Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.

Jatkuvuus

Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.

Toispuoleiset derivaatat

Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.

Lähteet

• Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: Pitkä Sigma 7. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
• Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999