Funktioavaruus

Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).

Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.

Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa Hilbertin avaruudessa.

Esimerkkejä

• Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen $Y$ ja $X$ tulojoukkona $Y^{X}$, sillä millä tahansa funktiolla $f$ jokainen $x\in X$ "indeksoi" jonkin alkion $y=f_{x}\in Y$ (jota merkitään yleensä $f(x)$). Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria $v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ voidaan myös ajatella funktiona $v:\lbrace 1,2\rbrace \longrightarrow \mathbb {R}$.

• Lineaarialgebrassa enintään $n$-asteisten polynomien joukko $\mathbb {P} _{n}$ on $n+1$-ulotteinen funktioiden vektoriavaruus.

• Lebesguen avaruudet eli $L^{p}$-avaruudet ovat klassinen esimerkki funktioavaruuksista, jotka ovat täydellisiä normiavaruuksia, eli Banach-avaruuksia.

• Sileiden funktioiden joukko, eli $k$-kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko $C^{k}$ ja äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko $C^{\infty }$.

Funktionaalianalyysi

Funktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia. Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.

Kirjallisuutta

• Kari Astala, Petteri Piiroinen ja Hans-Olav Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (PDF) wiki.helsinki.fi. (suomeksi)