Eulerin tiili

Eulerin tiili on suorakulmainen särmiö, jossa särmien pituudet ja tahkojen lävistäjien pituudet ovat positiivisia kokonaislukuja. Eulerin tiili on saanut nimensä Leonhard Eulerin mukaan.

Eulerin tiili, jonka särmät ovat a, b ja c ja tahkojen lävistäjät d, e ja f.

Ominaisuudet

Eulerin tiilen sivujen pituudet saadaan ratkaisemalla seuraavat Diofantoksen yhtälöt:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\b^{2}+c^{2}=e^{2}\\a^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

Jos a, b ja c ovat Eulerin tiilen sivun pituudet, niin myös kolmikko (bc, ac, ab) muodostaa Eulerin tiilen.

Esimerkkejä

Pienimmässä Eulerin tiilessä, jonka löysi Paul Halcke vuonna 1719, on sivujen pituudet $(a,b,c)=(240,117,44)$ ja tahkojen lävistäjät 267, 244 ja 125.

Muut ratkaisut $(a,b,c)$, joiden pisin sivu on alle 1000:

• $(275,252,240)$
• $(693,480,140)$
• $(720,132,85)$
• $(792,231,160)$

Täydellinen suorakulmainen särmiö

Täydellinen suorakulmainen särmiö on Eulerin tiili, jossa myös särmiön avaruuslävistäjän pituus on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen yllä esitettyyn Diofantoksen yhtälöön lisätään yhtälö

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\,$

Tiettävästi kukaan ei ole ratkaissut tätä yhtälöä. Ei tiedetä, onko täydellistä suorakulmaista särmiötä olemassa.

Alkeellinen Eulerin tiili

Eulerin tiiltä sanotaan alkeelliseksi, jos sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia lukuja eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Pienin löydetty Eulerin tiili, $(a,b,c)=(240,117,44)$, on alkeellinen sillä sen sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia.

Lähteet

• http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html
• http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
• http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf