Ellipsoidi

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Ellipsoidi, jolle a = 4, b = 2 ja c = 1.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\!$ , jossa $a,b,c\in \mathbb {R}$.

Luvut $a$, $b$ ja $c$ ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde $r=b=c$.

Tilavuus

Ellipsoidin tilavuus saadaan kaavalla

$V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!$

Pinta-ala

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

$A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(O\!\!E,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(O\!\!E,m)\right),\,\!$

jossa $m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}\,\!$ ja $F(O\!\!E,m)\,\!$, $E(O\!\!E,m)\,\!$ ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

$A\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}.\,\!$

missä arvolla $p=1,6075$ saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061 % (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178 % (David W. Cantrellin kaava).