Egorovin lause
 |
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Matematiikassa Egorovin lause antaa ehdon mitallisten funktioiden jonon tasaiselle suppenemiselle.
Olkoon (fn) jono reaaliarvoisia mitallisia funktioita mitta-avaruudessa (X,Σ,μ) siten, että fn suppenee μ-melkein kaikkialla äärellismittaisessa joukossa A kohti rajafunktiota f. Tällöin kaikilla ε > 0 on olemassa A:n osajoukko B jolle μ(B) < ε ja (fn) suppenee tasaisesti kohti f:ää joukossa A−B. Tässä μ(B) tarkoittaa B:n (μ-)mittaa.
Toisin sanoin pisteittäinen suppeneminen A:n melkein jokaisessa pisteessä antaa funktiolle f A:ssa paljon vahvemman tasaisen suppenemisen jossain A:ta mielivaltaisen vähän pienemmässä A:n osajoukossa. Lause voidaan todistaa suoraan käyttämällä tasaisen suppenemisen määritelmää ja μ:n subadditiivisuutta. Lauseen antamaa suppenemista kutsutaan melkein tasaiseksi suppenemiseksi. Huomaa, että oletus μ(A) < ∞ on välttämätön Egorovin lauseessa. Tarkastellaan Lebesguen mitan suhteen indikaattorifunktiota
![{\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0965c5a1c0b2ffb94efb254a8d94e59e352abe1e)
joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla R. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota kaikkialla, mutta ei suppene tasaisesti missään joukossa R−B, missä B on mikä tahansa äärellismittainen joukko.
Egorovin lausetta voidaan soveltaa kompaktikantajaiseen jatkuvaan funktioon, jolloin saadaan todistettua Lusinin lause.
Lause on nimetty Dmitri Egorovin, venäläisen fyysikon ja geometrikon, mukaan.
Aiheesta muualla muokkaa
- Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
- Weisstein, Eric W., et al. (2005). Egorov's Theorem. Retrieved April 19, 2005.