Differentiaalilaskennan väliarvolause

Differentiaalilaskennan väliarvolause on erittäin keskeinen lause differentiaalilaskennassa.

Differentiaalilaskennan väliarvolause

Lagrangen väliarvolause sanoo, että suljetulla välillä derivoituvan funktion derivaatta saa jossakin tämän välin pisteessä arvon, joka on yhtä suuri kuin funktion arvojen erotus välin päätepisteissä jaettuna näiden pisteiden erotuksella. Havainnollisemmin tämä voidaan selittää niin, että kuvaajan tangentti on jossakin pisteessä samansuuntainen välin päätepisteet yhdistävän janan kanssa.

Formaalisti: Olkoon $f$ välillä [a, b] jatkuva ja välillä ]a, b[ derivoituva funktio. Tällöin on olemassa $\scriptstyle c\in ]a,b[$, jolle

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Väliarvolausetta voidaan käyttää approksimoimaan funktion arvoa jossain pisteessä, mikäli sen arvo tunnetaan toisessa pisteessä ja tiedetään derivaatan itseisarvon yläraja näiden kahden pisteen välillä.

Cauchyn väliarvolause on yleisempi kuin Lagrangen versio. Sen mukaan, jos funktiot f(t) ja g(t) ovat molemmat jatkuvia suljetulla välillä [a, b] ja derivoituvia avoimella välillä ]a, b[, niin tällöin välillä ]a, b[ on olemassa reaaliluku c, jolle

$f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)).$

Cauchyn väliarvolausetta voidaan käyttää muun muassa L’Hôpitalin säännön todistamisessa. Lagrangen väliarvolause on Cauchyn väliarvolauseen erikoistapaus, missä g(t) = t.

Väliarvolausetta näkee käytettävän harvoin sovelluksissa. Sen sijaan väliarvolauseen avulla voidaan todistaa monia derivaattaa koskevia differentiaalilaskennan perustuloksia. Lagrangen väliarvolauseesta nähdään esimerkiksi se, että aidosti kasvavan ja derivoituvan funktion derivaatta on kaikkialla epänegatiivinen.

Lagrangen väliarvolauseen todistus

Olkoon [a, b] annettu väli ja $f$ derivoituva välillä ]a, b[. Määritellään

$g(x)=f(x)+{\frac {f(b)-f(a)}{a-b}}(x-a)$

Nyt $g(a)=g(b)$ ja $g$ on derivoituva välillä ]a, b[, joten Rollen lauseen nojalla on olemassa luku $c\in ]a,b[$ jolle $g'(c)=0$. Nyt

$f'(c)=g'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{a-b}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

□

Cauchyn väliarvolauseen todistus

Olkoon $e(x):=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$, jolloin $e(x)$ on jatkuva, kun $x\in [a,b]$, ja derivoituva, kun $x\in ]a,b[$.

$e'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(b)-f(a))$.

$e(a)=f(a)(g(b)-g(a))-g(a)(f(b)-f(a))=$ $f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)=$ $f(a)g(b)-f(b)g(a).$

$e(b)=f(b)(g(b)-g(a))-g(b)(f(b)-f(a))=$ $f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)=$ $f(a)g(b)-f(b)g(a).$

Täten $e(a)=e(b)$.

Rollen lauseen nojalla $\exists c\in ]a,b[$ siten, että $e'(c)=0\iff$ $f'(c)(g(b)-g(a))-g'(c)(f(b)-f(a))=0\iff$ $f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a)).\square$

Katso myös

• Rollen lause
• Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Differentiaalilaskennan väliarvolause Wikimedia Commonsissa