Apolloniuksen lause

Apolloniuksen lause määrää geometriassa kolmion kulmasta sen vastakkaiselle sivulle piirretyn keskijanan pituuden suhteen kolmion sivuihin. Lause sanoo, että kulman viereisille sivuille piirrettyjen neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kahden, kolmion keskijanalle piirretyn neliön ja kahden, kulman vastakkaisen sivun keskipisteeltä viereiseen kulmaan piirretyn neliön pinta-alojen summa.

Kolmiolla ABC, jolla AD kolmiolle piirretty keskijana, pätee

$AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).\,$

Apolloniuksen lause on erikoistapaus Stewartin lauseesta. Suorakulmaisella kolmiolla lause palautuu Pythagoraan lauseeksi. Koska suunnikkaan lävistäjät puolittavat suunnikkaan kahdeksi samankokoiseksi kolmioksi, lause on yhtäpitävä myös suunnikassäännön kanssa. Lause on nimetty Apollonios Pergeläisen mukaan.

Todistus

Kolmion sivut ja lävistäjä nimetty Apolloniuksen lauseen todistamista varten

Olkoon kolmio ABC ja D piste janalla BC niin, että BD=DC. Piirretään keski(jana) AD.
Merkitään BC=a, AB=b, BC=c, AD=d, BD=DC= m, sekä kulma BDA=θ ja kulma CDA=θ'.
Kosinilauseella saadaan

${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\end{aligned}}$

Summaamalla nämä kaksi yhtälöä saamme Apolloniuksen lauseen

${\begin{aligned}b^{2}+c^{2}&=2m^{2}+2d^{2}\\&=2(m^{2}+d^{2}).\,\end{aligned}}$

Lauseen merkitys pinta-aloina

Vihreä alue + sininen alue = punainen alue

Apolloniuksen lause voidaan ajatella kolmion janoihin piirrettyjen neliöiden summakaavana.
Piirretään kolmion sivuille AB sekä AC neliöt. Neliöiden pinta-alat ovat tällöin (AB)² ja (AC)².
Piirretään seuraavaksi kolmion (keski)janan molemmille puolille neliöt, joiden pinta-alat ovat (AD)². Piirretään lisäksi janoille BD sekä DC neliöt. Näiden neliöiden pinta-alat ovat (BC)² ja (DC)². Nämä neliöt ovat pinta-alaltaan yhtä suuria.
Apolloniuksen lause sanoo, että kahden ensimmäisen neliön pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin neljän viimeisen neliön summa

${\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&=2AD^{2}+BD^{2}+CD^{2}\\&=2AD^{2}+2BD^{2}.\,\end{aligned}}$

Lähteet

• Modern Geometry. University Press, 1908.
• Apollonius Theorem (Arkistoitu – Internet Archive)